Цилиндр

Загрузка...

главная страница Рефераты Курсовые работы текст файлы добавьте реферат (спасибо :)Продать работу

поиск рефератов

Методичка на тему Цилиндр

скачать
похожие рефераты
подобные качественные рефераты
1 2    

Содержание

 

Введение. 3
1 Теоретическое часть. 4
1.1. Определение цилиндра. 4
1.2. Элементы  и свойства цилиндра. 7
1. 3. Сечения  цилиндра. 9
1.4. Площадь цилиндра. 11
1.5. Объем цилиндра. 13
2 Практическая часть (задачи) 15
Задача 1. 15
Задача 2. 16
Задача 3. 17
Задача 4. 18
Задача 5. 19
Задача 6. 20
Задача 7. 21
Задача 8. 22
Задача 9. 23
Задача 10. 24
Задача 11. 26
Задача 12. 27
Заключение. 28
Список литературы.. 29

Введение
Стереометрия − это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.
В окружающей нас природе существует множество объектов, являющихся физическими моделями указанной фигуры. Например, многие детали машин имеют форму цилиндра или представляют собой некоторое их сочетание, а величественные колонны храмов и соборов, выполненные в форме цилиндров, подчеркивают их гармонию и красоту.
Греч. − кюлиндрос. Античный термин. В обиходе − свиток папируса, валик, каток (глагол − крутить, катать).
У Евклида цилиндр получается вращением прямоугольника. У Кавальери − движением образующей (при произвольной направляющей − "цилиндрика").
Цель данного реферата рассмотреть геометрическое тело – цилиндр.
Для достижения данной цели необходимо рассмотреть следующие задачи:
− дать определения цилиндра;
− рассмотреть элементы цилиндра;
− изучить свойства цилиндра;
− рассмотреть виды сечения цилиндра;
− вывести формулу площади цилиндра;
− вывести формулу объема цилиндра;
− решить задачи с использованием цилиндра.

1 Теоретическое часть

1.1. Определение цилиндра

Рассмотрим какую-либо линию (кривую, ломаную или смешанную) l, лежащую в некоторой плокости α, и некоторую прямую S, пересекающую эту плоскость. Через все точки данной линии l проведем прямые, параллельные прямой S; образованная этими прямыми поверхность α называется цилиндрической поверхностью. Линия l называется направляющей этой поверхности, прямые s1, s2, s3,... − ее образующими.
цилиндрическая поверхность
Если направляющая является ломаной, то такая цилиндрическая поверхность состоит из ряда плоских полос, заключенных между парами параллельных прямых, и называется призматической поверхностью. Образующие, проходящие через вершины направляющей ломаной, называются ребрами призматической поверхности, плоские полосы между ними − ее гранями.
Если рассечь любую цилиндрическую поверхность произвольной плоскостью, не параллельной ее образующим, то получим линию, которая также может быть принята за направляющую данной поверхности. Среди направляющих выделяется та, которая, получается, от сечения поверхности плоскостью, перпендикулярной образующим поверхности. Такое сечение называется нормальным сечением, а соответствующая направляющая − нормальной направляющей.
Если направляющая − замкнутая (выпуклая) линия (ломаная или кривая), то соответствующая поверхность называется замкнутой (выпуклой) призматической или цилиндрической поверхностью. Из цилиндрических поверхностей простейшая имеет своей нормальной направляющей окружность. Рассечем замкнутую выпуклую призматическую поверхность двумя плоскостями, параллельными между собой, но не параллельными образующим.
сечение призметической поверхности
В сечениях получим выпуклые многоугольники. Теперь часть призматической поверхности, заключенная между плоскостями α и α', и две образовавшиеся при этом многоугольные пластинки в этих плоскостях ограничивают тело, называемое призматическим телом − призмой.
Цилиндрическое тело − цилиндр определяется аналогично призме:
Цилиндром называется тело, ограниченное с боков замкнутой (выпуклой) цилиндрической поверхностью, а с торцов двумя плоскими параллельными основаниями. Оба основания цилиндра равны, также равны между собой и все образующие цилиндра, т.е. отрезки образующих цилиндрической поверхности между плоскостями оснований.
Цилиндром (точнее, круговым цилиндром) называется  геометрическое тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов (рис. 1).

Рис. 1 − Цилиндр

1.2. Элементы и свойства цилиндра
Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, − образующими цилиндра.
Так как параллельный перенос есть движение, то основания цилиндра равны.
Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях.
Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у цилиндра образующие параллельны и равны.
Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.
Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.
Прямой цилиндр наглядно можно представить себе как геометрическое тело, которое описывает прямоугольник при вращении его около стороны как оси (рис. 2).

Рис. 2 − Прямой цилиндр
В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром. 
Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.
Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.
Если основания цилиндра плоские (и, следовательно, содержащие их плоскости параллельны), то цилиндр называют стоящим на плоскости. Если основания стоящего на плоскости цилиндра перпендикулярны образующей, то цилиндр называется прямым.
В частности, если основание стоящего на плоскости цилиндра − круг, то говорят о круговом (круглом) цилиндре; если эллипс − то эллиптическом.

1. 3. Сечения цилиндра

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник (рис. 3, а). Две его стороны − образующие цилиндра, а две другие − параллельные хорды оснований.
а)                б)
    в)                   г) 
Рис. 3 – Сечения цилиндра
В частности, прямоугольником является осевое сечение. Это − сечение  цилиндра плоскостью, проходящей через его ось (рис. 3, б).
 Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию − круг (рис 3,  в).
Сечение цилиндра плоскостью не параллельной основанию и его оси − овал  (рис. 3г).
Теорема 1. Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.
Доказательство. Пусть β − плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра. Параллельный перенос в направлении оси цилиндра, совмещающий плоскость β с плоскостью основания цилиндра, совмещает сечение боковой поверхности плоскостью β с окружностью основания. Теорема доказана.  

1.4. Площадь цилиндра
Площадь боковой поверхности цилиндра.
За площадь боковой поверхности цилиндра принимается предел, к которому стремится площадь боковой поверхности правильной призмы, вписанной в цилиндр, когда число сторон основания этой призмы неограниченно возрастет.
Теорема 2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту (Sбок.ц = 2πRH, где R − радиус основания цилиндра, Н − высота цилиндра).

а)          б)   
Рис. 4 − Площадь боковой поверхности цилиндра
 Доказательство.
Пусть Pn и Н соответственно периметр основания и высота правильной n-угольной призмы, вписанной в цилиндр (рис. 4, а). Тогда площадь боковой поверхности этой призмы Sбок.ц − PnH. Предположим, что число сторон многоугольника, вписанного в основание, неограниченно растет (рис. 4, б). Тогда периметр Pn  стремится к длине окружности С = 2πR, где R— радиус основания цилиндра, а высота H не изменяется. Таким образом, площадь боковой поверхности призмы стремится к пределу 2πRH,   т. е.   площадь   боковой   поверхности   цилиндра   равна Sбок.ц = 2πRH. Теорема доказана.
Площадь полной поверхности цилиндра.
Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Площадь каждого основания цилиндра равна πR2, следовательно, площадь полной    поверхности    цилиндра   Sполн вычисляется    по    формуле Sбок.ц = 2πRH+ 2πR2.
T1
 
T
 
F
 
F1
 
T
 
                     а)     
F
 
     б)    
Рис. 5 − Площадь полной поверхности цилиндра
Если боковую поверхность цилиндра разрезать по образующей FT (рис. 5, а) и развернуть так, чтобы все образующие оказались в одной плоскости, то в результате мы получим прямоугольник FTT1F1, который называется разверткой боковой поверхности цилиндра. Сторона FF1 прямоугольника есть развертка окружности основания цилиндра, следовательно, FF1=2πR, а его сторона FT равна образующей цилиндра, т. е. FT = Н (рис. 5, б). Таким образом, площадь FT∙FF1=2πRH развертки цилиндра равна пло­щади его боковой поверхности.

1.5. Объем цилиндра

Если геометрическое тело простое, то есть допускает разбиение на конечное число треугольных пирамид, то его объем равен сумме объемов этих пирамид. Для произвольного тела объем определяется следующим образом.
Данное тело имеет объем V, если существует содержащие его простые тела и содержащиеся в нем простые тела с объемами, сколько угодно мало отличающимися от V.
Применим это определение к нахождению объема цилиндра с радиусом основания R и высотой Н.
При выводе формулы для площади круга были построены такие два n-угольника (один − содержащий круг, другой − содержащийся в круге), что их площади при неограниченном увеличении n неограниченно приближались к площади круга. Построим такие многоугольники для круга в основании цилиндра. Пусть Р − многоугольник, содержащий круг, а Р' − многоугольник, содержащийся в круге (рис. 6).

Рис. 7 − Цилиндр с описанной и вписанной в него призмой
Построим две прямые призмы с основаниями Р и Р' и высотой Н, равной высоте цилиндра. Первая призма содержит цилиндр, а вторая призма содержится в цилиндре. Так как при неограниченном увеличении n площади оснований призм неограниченно приближаются к площади основания цилиндра S, то их объемы неограниченно приближаются к SН. Согласно определению объем цилиндра
V = SH = πR2H.
Итак, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

2 Практическая часть (задачи)

Задача 1.

Осевое сечение цилиндра − квадрат, площадь которого Q.
Найдите площадь основания цилиндра.
Дано: цилиндр, квадрат − осевое сечение цилиндра, Sквадрата = Q.
Найти: Sосн.цил.
Решение:

Сторона квадрата равна . Она равна диаметру основания. Поэтому площадь основания равна .
Ответ: Sосн.цил. =

Задача 2.

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.
Дано: цилиндр, правильная шестиугольная призма вписанная в цилиндр, радиус основания = высоте цилиндра.
Найти: угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра.
Решение: Боковые грани призмы − квадраты, так как сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу.

Ребра призмы параллельны оси цилиндра, поэтому угол между диагональю грани и осью цилиндра равен углу между диагональю и боковым ребром. А это угол равен 45°, так как грани − квадраты.
Ответ: угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра = 45°.

Задача 3.

Высота цилиндра 6см, радиус основания 5см.
Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4см от нее.
Дано: Н = 6см, R = 5см, ОЕ = 4см.
Найти: Sсеч.

Решение:
Sсеч.= КМ×КС,
ОЕ = 4 см,  КС = 6 см.
Треугольник ОКМ − равнобедренный (ОК = ОМ = R = 5 см),
треугольник ОЕК − прямоугольный.
Из треугольника ОЕК, по теореме Пифагора:
ЕК = ,
КМ = 2ЕК = 2×3 = 6,
Sсеч.= 6×6 = 36 см2.
Ответ: Sсеч.= 36 см2.

Задача 4.

Высота цилиндра 12см, радиус основания 10см.
Цилиндр пересечен плоскостью так, что в сечении получился квадрат.
Найдите расстояние от этого сечения до оси.
Дано: СК = h = 12см, R = ОК = ОМ = 10см.
Найти: ОЕ.
М
 

Подпись:
 

В
 






С
 
 

Решение:
СК равна высоте, то есть СК = 12 см. Так как в сечении получился квадрат, то КМ = СК = 12см.
ОК − радиус основания, ОК = 10см.
Треугольник ОКЕ – прямоугольный, где ОК = 10см, КЕ = 6см.
По теореме Пифагора:
ОЕ =
Ответ: ОЕ = 8см.

Задача 5.

В цилиндр наклонно вписан квадрат так, что все его вершины лежат на окружностях основания. Найдите сторону квадрата, если высота цилиндра равна 2см, а радиус основания равен 7см.
Дано: цилиндр, h = 2см, R – 7см, АВСD − наклонно вписанный квадрат.
В
 
Найти: АВ.

В1
 
D1
 
А1
 
С
 

D
 
 

Решение:
Достроим квадрат АВСD до прямого прямоугольного параллелограмма АВС1D1А1В1СD с диагональным сечением АВСD.
Угол АВС1 = 90°. Так как вписанный в окружность угол, стороны которого проходят через две данные точки окружности, равен половине угла между радиусами, проходившими в эти точки, или дополняет половину этого угла до 180°, то АС1  есть диаметр окружности верхнего основания цилиндра.
Рассмотрим прямоугольный треугольник СС1А1 − катет СС1, есть образующая цилиндра и СС1 = 2АС, катет АС1 есть диаметр цилиндра и АС1 = 14. По теореме Пифагора АС = (см).
Из прямоугольного равнобедренного треугольника АВС по теореме Пифагора сторона квадрата АВ = см.
Ответ: АВ = 10 см.

Задача 6.

Объем цилиндра 120 см2, его высота 3,6 см.
Найти радиус цилиндра.
Дано: V = 120 см2, h = 3,6 см.
Найти: r

Решение:

    продолжение
1 2    

Добавить методичку в свой блог или сайт
Удобная ссылка:

Скачать методичку бесплатно
подобрать список литературы


вверх страницы


© coolreferat.com | написать письмо | правообладателям | читателям
При копировании материалов укажите ссылку.